Terminos Estadísticos.

El método simplex

El método Simplex es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución.

Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución.

El método Simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta.

Deberá tenerse en cuenta que este método sólo trabaja para restricciones que tengan un tipo de desigualdad "≤" y coeficientes independientes mayores o iguales a 0, y habrá que estandarizar las mismas para el algoritmo. En caso de que después de éste proceso, aparezcan (o no varíen) restricciones del tipo "≥" o "=" habrá que emplear otros métodos, siendo el más común el método de las Dos Fases.

PREPARANDO EL MODELO PARA ADAPTARLO AL MÉTODO SIMPLEX

Esta es la forma estándar del modelo:

Función objetivo:	c1·x1 + c2·x2 + ... + cn·xn
Sujeto a:	a11·x1 + a12·x2 + ... + a1n·xn = b1 a21·x1 + a22·x2 + ... + a2n·xn = b2 ... am1·x1 + am2·x2 + ... + amn·xn = bm x1,..., xn ≥ 0

Para ello se deben cumplir las siguientes condiciones:

1. El objetivo es de la forma de maximización o de minimización.
2. Todas las restricciones son de igualdad.
3. Todas las variables son no negativas.
4. Las constantes a la derecha de las restricciones son no negativas.

Matriz de pago y árbol de decisión

En la teoría de decisiones, el resultado de una decisión depende del escenario o estado de la naturaleza que se va a producir. La decisión tomada afecta sólo a quien toma la decisión y no altera el estado de la naturaleza.

Para el desarrollo del análisis de decisiones es fundamental la matriz de pagos que en realidad es una lista de posibles estados de la naturaleza versus las diferentes alternativas de decisión. Dentro del cuerpo de la tabla, es decir, para el cruce de cada estado de la naturaleza y cada decisión figuran las utilidades (o pérdidas).

Tomemos como ejemplo la siguiente situación: suponga que para un negocio a futuro se puede presentar dos escenarios (fuerte o débil) y frente a estos se pueden tomar tres tipos de decisiones o estrategias (agresiva, básica y cautelosa). Las utilidades estimadas de las decisiones en cada escenario se muestran en la siguiente matriz de pagos:

El problema consiste en determinar qué decisión tomar. En realidad existen tres estados de la naturaleza que definen tres tipos de decisiones, a saber:

Decisión bajo certeza:

Es aquella decisión en la que se sabe qué estado de la naturaleza ocurrirá.

Decisión bajo riesgo:

Es aquella decisión en la que se conoce la distribución de probabilidades de los estados de la naturaleza.

Decisión bajo incertidumbre:

Es aquella decisión que se toma sin conocer la probabilidad de ocurrencia de los diversos estados de la naturaleza.

      Pronósticos del Futuro

Es un cálculo estimativo del nivel de la demanda de un producto o productos por un período de tiempo futuro. Todo pronóstico por ende es una hipótesis, pero mediante el empleo de ciertas técnicas puede ser algo más significativo que nos dará un parámetro para tomar decisiones.

Realizar un pronóstico en las industrias es muy necesario a pesar de tener un grado de error y ser predecible, es fundamental para la planeación de gestión en general. El pronóstico tiene varias visiones y variables en general como el tiempo, el espacio y el producto.

Tipos de pronósticos

a)Pronósticos subjetivos: Son aquellos en la que las personas de experiencia en ventas, mercadotecnia, gerentes expresan cual es su parecer respecto a las ventas que se puede esperar para el futuro. La desventaja de los métodos que siguen este tipo de pronósticos es que no son precisas y depende mucho de algunos factores ya sea externos e internos para dar opiniones, los vendedores pueden ser muy optimistas o muy pesimistas, también dependen mucho de la experiencia de las ventas que se realizo en un pasado inmediato. Este procedimiento no puede ser objeto de evaluación en cuanto errores.

b)Pronósticos basados en un índice: Dependen de un índice de base para su precisión además del grado de correlación entre la demanda real y el pronóstico basado en el índice.

c)Pronósticos basados en promedios: Este pronóstico se basa en el promedio de los datos de ventas, quiere decir que la demanda anterior representa la demanda futura. Con una buena aplicación de los métodos de este tipo de pronósticos y ciertos ajustes, el promedio de los datos de la demanda puede dar un valor aproximado muy bueno. Sin embargo, existen mejores técnicas y más exactas que pueden utilizarse.

d)Pronósticos estadísticos: El pronóstico basado en el análisis estadístico de la demanda es el procedimiento mas exacto siempre que exista una relación entre el pasado y el futuro. En realidad el pasado brinda la mejor base para las decisiones referentes a la acción futura.

e)Métodos combinados: Es posible y quizá sea deseable combinar algunos o todos los tipos de pronósticos mencionados y hasta añadirle otros métodos. La seguridad de que se alcanza el grado necesario de exactitud puede conocerse por la estrecha coincidencia de los pronósticos siguiendo varios métodos.

Importancia de la exactitud en el pronóstico

Cualquiera sea el método u técnica utilizada, lograr tener un pronóstico con mayor exactitud es fundamental ya que de esta dependen muchas decisiones futuras en general en control de materiales, producción y ventas.

Es importante para conseguir mayor exactitud determinar el tipo de demanda ya que los métodos para pronosticar según esta nos darán un resultado diferente, y solo uno es el acertado.

Cabe recalcar que no hay que confundir precisión con exactitud de un pronóstico; ser preciso con datos erróneos o con el método inadecuado nos llevara a un resultado irreal e inadecuado.

       Colas de espera

Los objetivos de la Teoría de Colas consisten en:

  Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del mismo.

Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo.

Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio.

 Hay que prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la Cola: la “paciencia” de los clientes depende del tipo de servicio específico considerado y eso puede hacer que un cliente “abandone” el sistema.

 Características

 Clientes:

Término usado en un sistema de colas para referirse a:

·          Gente esperando líneas telefónicas desocupadas.

·          Máquinas que esperan ser reparadas.

·          Aviones esperando aterrizar.

         

       Simulación Montecarlo

Es un método no determinístico o estadístico numérico, usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud. El método se llamó así en referencia al Casino de Monte Carlo (Principado de Mónaco) por ser “la capital del juego de azar”, al ser la ruleta un generador simple de números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de los métodos de Monte Carlo datan aproximadamente de 1944 y se mejoraron enormemente con el desarrollo de la computadora.

El uso de los métodos de Monte Carlo como herramienta de investigación, proviene del trabajo realizado en el desarrollo de la bomba atómica durante la Segunda Guerra Mundial en el Laboratorio Nacional de Los Álamos en EE. UU. Este trabajo conllevaba la simulación de problemas probabilísticos de hidrodinámica concernientes a la difusión de neutrones en el material de fisión. Esta difusión posee un comportamiento eminentemente aleatorio. En la actualidad es parte fundamental de los algoritmos de Raytracing para la generación de imágenes 3D.

En la primera etapa de estas investigaciones, John von Neumann y Stanislaw Ulam refinaron esta ruleta rusa y los métodos "de división" de tareas. Sin embargo, el desarrollo sistemático de estas ideas tuvo que esperar al trabajo de Harris y Herman Kahn en 1948. Aproximadamente en el mismo año, Enrico Fermi, Nicholas Metropolis y Ulam obtuvieron estimadores para los valores característicos de la ecuación de Schrödinger para la captura de neutrones a nivel nuclear usando este método.

El método de Monte Carlo proporciona soluciones aproximadas a una gran variedad de problemas matemáticos posibilitando la realización de experimentos con muestreos de números pseudoaleatorios en una computadora. El método es aplicable a cualquier tipo de problema, ya sea estocástico o determinista. A diferencia de los métodos numéricos que se basan en evaluaciones en N puntos en un espacio M-dimensional para producir una solución aproximada, el método de Monte Carlo tiene un error absoluto de la estimación que decrece como en virtud del teorema del límite central.

       Análisis de decisión

El análisis de decisiones es la disciplina que consiste en evaluar alternativas complejas en términos de valores (habitualmente en $ porque es lo que a los gerentes les importa) y de incertidumbre (lo que no conocemos). El análisis de decisiones brinda información sobre las diferencias entre las alternativas definidas, y genera sugerencias de nuevas y mejores alternativas. Usamos números para cuantificar valores e incertidumbres subjetivas, lo cual nos permite comprender la situación de decisión. Los resultados numéricos deben reconvertirse para generar información cualitativa.

Los seres humanos pueden comprender, comparar y manipular números. Por lo tanto, para crear un modelo de análisis de decisiones es necesario crear la estructura del modelo y asignar las probabilidades y los valores para poblar el modelo de computación. Aquí se incluyen los valores para las probabilidades, las funciones de valor para evaluar alternativas, las ponderaciones de valor para medir la concesión que se debe hacer entre los objetivos, y la preferencia de riesgo.

Una vez definida la estructura y los números, el análisis puede comenzar. El Análisis de Decisiones implica mucho más que calcular la utilidad esperada y ponderada de cada alternativa. Si nos detuviéramos aquí, los decisores no tendrían demasiada información. Tenemos que examinar la sensibilidad de la utilidad esperada y ponderada para las probabilidades clave, y los parámetros de ponderación y preferencia de riesgo. Como parte del análisis de sensibilidad podemos calcular el valor de la información perfecta para incertidumbres que han sido modelizadas explícitamente.

Entre las comparaciones cuantitativas adicionales se incluye la comparación directa de la utilidad ponderada para dos alternativas en todos los objetivos y la comparación de todas las alternativas en dos objetivos seleccionados, demostrando la optimalidad de Pareto para estos dos objetivos.

La complejidad del mundo moderno, junto con la cantidad de Información, la Incertidumbre y el Riesgo, requieren un marco racional para la toma de decisiones. Las metas del análisis de decisiones son las siguientes: incorporar orientación, información, discernimiento y estructura al proceso de toma de decisión, para que ésta pueda ser mejor y más "racional".

Toda decisión necesita un decisor responsable. El decisor tiene varias alternativas, y debe elegir una. El objetivo del decisor es elegir la mejor alternativa. Después de que se ha tomado la decisión, pueden producirse eventos sobre los que el decisor no tiene control. Cada combinación de alternativas elegida, seguida por un evento, conduce a un resultado con algún valor mensurable. Los gerentes toman decisiones en situaciones complejas. Las matrices de árbol de decisiones y pago describen estas situaciones y añaden estructura a los problemas.

       Los tres Modelos de Decisión

Existen tipos diferentes de modelos de decisión que ayudan a analizar distintos escenarios, dependiendo de la cantidad y el grado de conocimiento que tengamos. Los tres tipos más ampliamente utilizados son:

• Decisión tomada con pura incertidumbre,
• Decisión tomada con riesgo,
• Decisión tomada comprando información (empujando el problema hacia el "polo" determinista)

En las decisiones tomadas con pura incertidumbre, el decisor no tiene ningún conocimiento, ni siquiera de la probabilidad de ocurrencia de cualquier estado de la naturaleza. En estas situaciones, el comportamiento del decisor se basa puramente en su su actitud hacia la incógnita. Algunos de estos comportamientos son los optimistas, los pesimistas y los de arrepentimiento, entre otros. La persona más optimista que conocí fue sin duda un joven artista en París quien, sin un franco en el bolsillo, fue a un restaurante elegante y ordenó docenas de ostras, con la esperanza de encontrar la perla que pagara la cuenta.

Optimista: El vaso está medio lleno.
Pesimista: El vaso está medio vacío.
Gerente: El vaso es el doble de grande de lo necesario.

Observe que esta categoría de problemas (es decir, los problemas con pura incertidumbre) resultan apropiados sólo para la toma de decisiones en la vida privada. No obstante, la persona pública (es decir, el gerente) tiene que tener cierto conocimiento de los estados de la naturaleza, para poder predecir las probabilidades de cada estado. De lo contrario no podrá tomar una buena decisión que sea razonable y defendible.

Siempre que un decisor tiene cierto conocimiento sobre los estados de la naturaleza puede asignar una probabilidad subjetiva a la ocurrencia de cada estado. Y cuando lo hace, el problema se clasifica como toma de decisiones bajo riesgo.

En muchos casos, el decisor puede necesitar la opinión de un especialista para limitar sus incertidumbres con respecto a la probabilidad de cada estado de la naturaleza. En tal caso, el decisor puede comprar información relevante a especialistas, para poder tomar una mejor decisión. El procedimiento para incorporar el asesoramiento de un experto en las incertidumbres del decisor se conoce como el abordaje de Bayes.

Por ejemplo, en una situación donde se debe tomar una decisión de inversión, se debe responder la siguiente pregunta: ¿En qué estado estará la economía el año próximo? Supongamos que limitamos las posibilidades a: Crecimiento (G), Igualdad (S), o Declinación (D); entonces, una representación típica de nuestra incertidumbre podría ilustrarse de la siguiente manera:

       El valor esperado

Los promedios son parte de nuestro diario vivir. Nosotros escuchamos el promedio de lluvia en una ciudad en un año, el promedio de temperatura en Agosto, el promedio de edad de los trabajadores de una empresa, entre otros. El objetivo de esta sección es mostrar algunas características numéricas de una distribución poblacional. El más común promedio utilizado en estadística es la media o valor esperado o esperanza matemática.

Sea una variable aleatoria definida sobre y sea una función real definida sobre . Defina por

       Análisis de sensibilidad

Analizar la forma en que cambiaría (si es que cambia) la solución derivada del problema si el valor asignado al parámetro se cambiara por otros valores posibles.

Objetivo
Investigar el cambio en la solución óptima del problema, cuando se producen cambios en los parámetros del modelo

Procedimiento

Revisión del modelo:

Se hacen los cambios deseados en el modelo que se va a investigar

Revisión de la tabla Simplex final:

Utilización de la idea fundamental para determinar los cambios en la tabla.

Procedimiento

Conversión a la forma apropiada:

Conversión de tabla en la forma apropiada para identificar y evaluar la solución básica actual.

Prueba de factibilidad:

Verificar que todas las variables básicas sigan teniendo valores no negativos en el segundo miembro.

Procedimiento

Prueba de optimalidad:

Verificación si solución e s optima. Coeficientes variables no básicas en el renglón 0 sigan siendo no negativos.

Reoptimización:
Si no pasa cualquiera de las pruebas, se puede obtener la nueva solución, partiendo de la tabla actual haciendo las conversiones necesarias.

Aplicación del Análisis

Cambio en el segundo miembro de las restricciones
Cambio en los coeficientes de la función objetivo
Cambio en los coeficientes de las variables de las restricciones
Adición de nuevas variables al problema
Adición de nuevas restricciones.

 

       Regresión lineal

En estadística la regresión lineal o ajuste lineal es un método matemático que modela la relación entre una variable dependiente Y, las variables independientes X_i y un término aleatorio ε. Este modelo puede ser expresado como:

: Variable dependiente, explicada o regresando.

: Variables explicativas, independientes o regresores.

: Parámetros, miden la influencia que las variables explicativas tienen sobre el regresando.

Donde es la intersección o término "constante", las son los parámetros respectivos a cada variable independiente, y es el número de parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión. La regresión lineal puede ser contrastada con la regresión no lineal.

       Series de tiempo

Las series de tiempo llamadas también series cronológicas o series históricas son un conjunto de datos numéricos que se obtienen en períodos regulares y específicos a través del tiempo, los tiempos pueden ser en años, meses, semanas, días o otra unidad adecuada al problema que se esté trabajando. Ejemplos de series de tiempo son: Ventas mensuales de un producto en una empresa, producción total anual de petróleo en Ecuador durante un cierto número años o las temperaturas anunciadas cada hora por el meteorólogo para un aeropuerto.

Matemáticamente, una serie de tiempo se define por los valores Y1, Y2, Y3,…….de una variable Y (ventas mensuales, producción total, etc.) en tiempos t1, t3, t3……….. Si se remplaza a X por la variable tiempo, estas series se definen como distribuciones de pares ordenados (X,Y) en el plano cartesiano, siendo Y una función de X; esto se denota por:

El principal objetivo de las series de tiempo es hacer proyecciones o pronósticos sobre una actividad futura, suponiendo estables las condiciones y variaciones registradas hasta la fecha, lo cual permite planear y tomar decisiones a corto o largo plazo. Después, con base en esa situación ideal, que supone que los factores que influyeron en la serie en el pasado lo continuarán haciendo en el futuro, se analizan las tendencias pasadas y el comportamiento de las actividades bajo la influencia de ellas; por ejemplo, en la proyección de ventas de un producto o de un servicio de una empresa se calculan los posibles precios, la reacción del consumidor, la influencia de la competencia, etc.

      Índices

Un número índice es una medida estadística que permite estudiar las fluctuaciones o variaciones de una magnitud o de más de una en relación al tiempo o al espacio. Los índices más habituales son los que realizan las comparaciones en el tiempo, por lo que, como veremos más adelante, los números índices son en realidad series temporales.

Aproximación

Los números índices nacen de la necesidad de conocer en profundidad la magnitud de un fenómeno y poder realizar comparaciones del mismo en distintos territorios o a lo largo del tiempo. Una forma inicial de resolver el problema es referir cada situación a la anterior, pero esto no hace viable la posibilidad de comparaciones significativas, al menos directamente, salvo en lo concerniente a dos de ellas inmediatas. Por esto es más conveniente escoger una situación determinada como punto de referencia inicial, para remitir a ella todas las demás observaciones, esta situación se denomina situación base y las comparaciones que se realizan vienen establecidos a través de un número índice. Los números índices, o simplemente índices, proporcionan comparaciones entre datos correspondientes a diferentes situaciones, escalonadas con arreglo a algún criterio conocido (por ejemplo, por el transcurso del tiempo).